Временные характеристики цепи. Частотные и временные характеристики линейных цепей Передаточная функция в операторной форме

К временным характеристикам цепей относятся переходная и импульсная характеристики.

Рассмотрим линейную электрическую цепь, не содержащую независимых источников тока и напряжения.

Пусть внешнее воздействие на цепь представляет собой функцию включения (единичный скачок) x(t) = 1(t - t 0).

Переходной характеристикой h(t - t 0) линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздействие единичного скачка тока или напряжения

Размерность переходной характеристики равна отношению размерности отклика к размерности внешнего воздействия, поэтому переходная характеристика может иметь размерность сопротивления, проводимости или быть безразмерной величиной.

Пусть внешнее воздействие на цепь имеет форму -функции

x(t) = d(t - t 0).

Импульсной характеристикой g (t - t 0) линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется реакция цепи на воздействие в виде -функции при нулевых начальных условиях/

Размерность импульсной характеристики равна отношению размерности отклика цепи к произведению размерности внешнего воздействия на время.

Подобно комплексной частотной и операторной характеристикам цепи, переходная и импульсная характеристики устанавливают связь между внешним воздействием на цепь и ее реакцией, однако в отличие от первых характеристик аргументом последних является время t , а не угловая w или комплексная p частота. Так как характеристики цепи, аргументом которых является время, называются временными, а характеристики, аргументом которых является частота (в том числе и комплексная) - частотными, то переходная и импульсная характеристики относятся к временным характеристикам цепи.

Каждой операторной характеристики цепи H k n (p) можно поставить в соответствие переходную и импульсную характеристики.

(9.75)

При t 0 = 0 операторные изображения переходной и импульсной характеристик имеют простой вид

Выражения (9.75), (9.76) устанавливают связь между частотными и временными характеристиками цепи. Зная, например, импульсную характеристику можно с помощью прямого преобразования Лапласа найти соответствующую операторную характеристику цепи

а по известной операторной характеристики H k n (p) с помощью обратного преобразования Лапласа определить импульсную характеристику цепи

Используя выражения (9.75) и теорему дифференцирования (9.36), нетрудно установить связь между переходной и импульсной характеристиками

Если при t = t 0 функция h(t - t 0) изменяется скачкообразно, то импульсная характеристика цепи связана с ней следующим соотношением

(9.78)

Выражение (9.78) известно под названием формулы обобщенной производной. Первое слагаемое в этом выражении представляет собой производную переходной характеристики при t > t 0 , а второе слагаемое содержит произведение d-функции на значение переходной характеристики в точке t= t 0 .

Если функция h 1 (t - t 0) не претерпевает разрыва при t = t 0 , т. е. значение переходной характеристики в точке t = t 0 равно нулю, то выражение для обобщенной производной совпадает с выражением для обычной производной., импульсная характеристика цепи равна первой производной переходной характеристики по времени

(9.77)

Для определения переходных (импульсных) характеристик линейной цепи применяют два основных способа.

1) Необходимо рассмотреть переходные процессы, имеющие место в данной цепи при воздействии на нее тока или напряжения в виде функции включения или -функции. Это может быть выполнено с помощью классического или операторного методов анализа переходных процессов.

2) На практике для нахождения временных характеристик линейных цепей удобно использовать путь, основанный на применении соотношений, устанавливающих связь между частотными и временными характеристиками. Определение временных характеристик в этом случае начинается с составления операторной схемы замещения цепи для нулевых начальных условий. Далее, используя эту схему, находят операторную характеристику H k n (p), соответствующую заданной паре: внешнее воздействие на цепь x n (t) - реакция цепи y k (t). Зная операторную характеристику цепи и применяя соотношения (6.109) или (6.110), определяют искомые временные характеристики.

Следует обратить внимание, что при качественном рассмотрении реакции линейной цепи на воздействие единичного импульса тока или напряжения переходной процесс в цепи разделяют на два этапа. На первом этапе (при tÎ] t 0- , t 0+ [ ) цепь находится под воздействием единичного импульса, сообщающего цепи определенную энергию. Токи индуктивностей и напряжения емкостей при этом скачком изменяются на значение, соответствующее поступившей в цепь энергии, при этом нарушаются законы коммутации. На втором этапе (при t ³ t 0+ ) действие приложенного к цепи внешнего воздействия закончилось (при этом соответствующие источники энергии выключены, т. е. представлены внутренними сопротивлениями), и в цепи возникают свободные процессы, протекающие за счет энергии, запасенной в реактивных элементах на первой стадии переходного процесса. Следовательно, импульсная характеристика характеризует свободные процессы в рассматриваемой цепи.

Временными характеристиками электрической цепи являются переходная h(l) и импульсная k(t) характеристики. Временной характеристикой электрической цепи называется отклик цепи на типовое воздействие при нулевых начальных условиях.

Переходная характеристика электрической цепи - это отклик (реакция) цепи на единичную функцию при нулевых начальных условиях (рис. 13.7, а, б), т.е. если входная величина /(/)= 1(/),то выходной величиной будет /?(/) = х(1 ).

Поскольку воздействие начинается в момент времени / = 0, то отклик /?(/) = 0 при /в). При этом переходная характеристика

запишется в виде h(t- т) или Л(/-т)- 1(г-т).

Переходная характеристика имеет несколько разновидностей (табл. 13.1).

Вид воздействия	Вид реакции	Переходная характеристика
Единичный скачок напряжения	Напряжение	^?/(0 У (Г)
Единичный скачок тока	Напряжение	2(0 К,( 0

Если воздействие задано в виде единичного скачка напряжения и реакция - также напряжение, то переходная характеристика оказывается безразмерной и является коэффициентом передачи Кц(1) по напряжению. Если же выходной величиной служит ток, то переходная характеристика имеет размерность проводимости, численно равна этому току" и является переходной проводимостью ?(1 ). Аналогично при воздействии скачка тока и реакции в виде напряжения переходная характеристика является переходным сопротивлением 1(1). Если же при этом выходная величина - ток, то переходная характеристика безразмерна и является коэффициентом передачи К/(г) по току.

Существует два способа определения переходной характеристики - расчетный и экспериментальный. Для определения переходной характеристики расчетным способом необходимо: классическим методом определить отклик цепи на постоянное воздействие; полученный отклик разделить на величину постоянного воздействия и тем самым определить переходную характеристику. При экспериментальном определении переходной характеристики необходимо: на вход цепи подать в момент времени / = О постоянное напряжение и снять осциллограмму реакции цепи; полученные значения пронормировать относительно входного напряжения - это и есть переходная характеристика.

Рассмотрим на примере простейшей цепи (рис. 13.8) вычисление переходных характеристик. Для данной цепи в гл. 12 было установлено, что реакция цепи на постоянное воздействие определяется выражениями:

Разделив «с(Г) и /(/) на воздействие?, получим переходные характеристики соответственно по напряжению на емкости и по току в цепи:

Графики переходных характеристик изображены на рис. 13.9, а , б.

Для получения переходной характеристики по напряжению на сопротивлении следует умножить переходную характеристику по току на /-(рис. 13.9, в):

Импульсная характеристика (функция веса ) - это отклик цепи на дельта-функцию при нулевых начальных условиях (рис. 13.10, а - в):

Если дельта-функция смешена относительно нуля на т, то на столько же будет смещена и реакция цепи (рис. 13.10, г); при этом импульсная характеристика записывается в виде /с(/-т) или лс(/-т) ? 1 (/-т).

Импульсная характеристика описывает свободный процесс в цепи, поскольку воздействие вида 5(/) существует в момент / = 0, а для Г*0 дельта-функция равна нулю.

Так как дельта-функция является первой производной от единичной функции, то между /;(/) и к(I) существует следующая связь:

При нулевых начальных условиях

Физически оба слагаемых в выражении (13.3) отражают два этапа переходного процесса в электрической цепи при воздействии на нее импульса напряжения (тока) в виде дельтафункции: первый этап - накопление некоторой конечной энергии (электрического поля в емкостях С или магнитного поля в индуктивностях?) за время действия импульса (Дг ->0); второй этап - рассеивание этой энергии в цепи после окончания действия импульса.

Из выражения (13.3) следует, что импульсная характеристика равна переходной характеристике, деленной на секунду. Расчетным способом импульсную характеристику вычисляют по переходной. Так, для ранее приведенной схемы (см. рис. 13.8) импульсные характеристики в соответствии с выражением (13.3) будут иметь вид:

Графики импульсных характеристик представлены на рис. 13.11, а-в.

Для определения импульсной характеристики экспериментальным путем на вход цепи необходимо подать, например, прямоугольный импульс длительностью

. На выходе цепи - кривая переходного процесса, которая затем нормируется относительно площади входного процесса. Нормированная осциллограмма реакции линейной электрической цепи и будет импульсной характеристикой.

Единичные функции и их свойства Важное место в теории линейных цепей занимает исследование реакции этих цепей на идеализированные внешние воздействия, описываемые так называемыми единичными функциями. Единичной ступенчатой функцией (функцией Хевисайда) называется функция: График функции 1(t-t 0) имеет вид ступеньки или скачка, высота которого равна 1. Скачок такого типа будем называть единичным.

Единичные функции и их свойства В связи с тем, что произведение любой ограниченной функции времени f(t) на 1(t-t 0) равно нулю при t

Единичные функции и их свойства Если при t=t 0 в цепь включается источник гармонического тока или напряжения то внешнее воздействие на цепь можно представить в виде: Если внешнее воздействие на цепь в момент времени t=t 0 скачкообразно изменяется от одного фиксированного значения X 1 до другого X 2, то

Единичные функции и их свойства Внешнее воздействие на цепь, имеющее форму прямоугольного импульса высотой X и длительностью tи (рис.), можно представить в виде разности двух одинаковых скачков сдвинутых во времени на tи

Единичные функции и их свойства Рассмотрим прямоугольный импульс длительностью и высотой 1/ t (рис.). Очевидно, что площадь этого импульса равна 1 и не зависит от t. При уменьшении длительности импульса его высота возрастает, причем при t→ 0 она стремится к бесконечности, но площадь остается равной 1. Импульс бесконечно малой длительности, бесконечно большой высоты, площадь которого равна 1, будем называть единичным импульсом. Функция, определяющая единичный импульс, обозначается (t-t 0) и называется δ-функцией или функцией Дирака.

Единичные функции и их свойства с помощью δ-функции можно выделять значения функции f(t) в произвольные моменты времени t 0. Эту особенность δфункции обычно называют фильтрующим свойством. При t 0 =0 операторные изображения единичных функций имеют особенно простой вид:

Переходная и импульсная характеристики линейных цепей Переходной характеристикой g(t-t 0) линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздействие неединичного скачка тока или напряжения к высоте этого скачка при нулевых начальных условиях: Переходная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единичного скачка тока или напряжения. Размерность переходной характеристики равна отношению размерности отклика к размерности внешнего воздействия, поэтому переходная характеристика может иметь размерность сопротивления, проводимости или быть безразмерной величиной.

Переходная и импульсная характеристики линейных цепей Импульсной характеристикой h(t-t 0) линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздействие бесконечно короткого импульса бесконечно большой высоты и конечной площади к площади этого импульса при нулевых начальных условиях: Импульсная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единичного импульса. Размерность импульсной характеристики равна отношению размерности отклика цепи к произведению размерности внешнего воздействия на время.

Переходная и импульсная характеристики линейных цепей Подобно комплексной частотной и операторной характеристикам цепи, переходная и импульсная характеристики устанавливают связь между внешним воздействием на цепь и ее реакцией, однако в отличие от комплексной частотной и операторной характеристик аргументом переходной и импульсной характеристик является время t, а не угловая ω или комплексная p частота. Так как характеристика цепи, аргументом которых является время, называются временными, а аргументом которых является частота (в том числе и комплексная) - частотными характеристиками, то переходная и импульсная характеристики относятся к временным характеристикам цепи.

Переходная и импульсная характеристики линейных цепей Таким образом, импульсная характеристика цепи hkv(t) - это функция, изображение которой, по Лапласу, представляет собой операторную характеристику цепи Hkv(p), а переходная характеристика цепи gkv(t) − функция, операторное изображение которой равно Hkv(p)/p.

Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие Внешнее воздействие на цепь представляют в виде линейной комбинации однотипных элементарных составляющих: а реакцию цепи на такое воздействие находят в виде линейной комбинации частичных реакций на воздействие каждой из элементарных составляющих внешнего воздействия в отдельности: В качестве элементарных составляющих можно выбирать внешние воздействия, наиболее широкое распространение получили элементарные (пробные) воздействия в виде гармонической функции времени, единичного скачка и единичного импульса.

Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной характеристике Рассмотрим произвольную линейную электрическую цепь, не содержащую независимых источников энергии, переходная характеристика g(t) которой известна. Пусть внешнее воздействие на цепь задается в виде произвольной функции x=x(t), равной нулю при t

Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной характеристике Функцию x(t) можно приближенно представить в виде суммы неединичных скачков или, что то же самое, в виде линейной комбинации единичных скачков, смещенных один относительно другого на: В соответствии с определением переходной характеристики реакция цепи на воздействие неединичного скачка, приложенного в момент времени t= k, равна произведению высоты скачка на переходную характеристику цепи g(t- k). Следовательно, реакция цепи на воздействие, представляемое суммой неединичных скачков (6. 114), равна сумме произведений высот скачков на соответствующие переходные характеристики:

Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной характеристике Очевидно, что точность представления входного воздействия в виде суммы неединичных скачков, как и точность представления реакции цепи, возрастает с уменьшением шага разбиения по времени. При → 0 суммирование заменяется интегрированием: Выражение известно под названием интеграла Дюамеля (интеграла наложения). Используя это выражение можно найти точное значение реакции цепи на заданное воздействие x=x(t) в любой момент времени t после коммутации. Интегрирование в осуществляется на промежутке t 0

Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной характеристике С помощью интеграла Дюамеля можно определить реакцию цепи на заданное воздействие и в том случае, когда внешнее воздействие на цепь описывается кусочно-непрерывной функцией, т. е. функцией, которая имеет конечное число конечных разрывов. В этом случае интервал интегрирования необходимо разбить на несколько промежутков в соответствии с интервалами непрерывности функции x=x(t) и учесть реакцию цепи на конечные скачки функции x=x(t) в точках разрыва.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ

Харьковский государственный технический университет радиоэлектроники

Расчетно‑пояснительная записка

к курсовой работе

по курсу «Основы радиоэлектроники»

Тема: Расчёт частотных и временных характеристик линейных цепей

Вариант №34

ВВЕДЕНИЕ	3
ЗАДАНИЕ	4
1 РАСЧЁТ КОМПЛЕКСНОГО ВХОДНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ЦЕПИ	5
1.1 Определение комплексного входного сопротивления цепи	5
1.2 Определение активной составляющей комплексного входного сопротивления цепи	6
1.3 Определение реактивной составляющей комплексного входного сопротивления цепи	7
1.4 Определение модуля комплексного входного сопротивления цепи	9
1.5 Определение аргумента комплексного входного сопротивления цепи	10
2 РАСЧЁТ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЦЕПИ	12
2.1 Определение комплексного коэффициента передачи цепи	12
2.2 Определение амплитудно-частотной характеристики цепи	12
2.3 Определение фазочастотной характеристики цепи	14
3 РАСЧЕТ ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЦЕПИ	16
3.1 Определение переходной характеристики цепи	16
3.2 Определение импульсной характеристики цепи	19
3.3 Расчет отклика цепи на заданное воздействие методом интеграла Дюамеля	22
ВЫВОДЫ	27
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАНЫХ ИСТОЧНИКОВ	28

ВВЕДЕНИЕ

Знание фундаментальных базовых дисциплин в подготовке и формировании будущего инженера-конструктора весьма велико.

Дисциплина «Основы радиоэлектроники» (ОРЭ) относится к числу базовых дисциплин. При изучении данного курса приобретаются теоретические знания и практические навыки по использованию этих знаний для расчета конкретных электрических цепей.

Основная цель курсовой работы – закрепление и углубление знаний по следующим разделам курса ОРЭ:

расчет линейных электрических цепей при гармоническом воздействием методом комплексных амплитуд;

частотные характеристики линейных электрических цепей;

временные характеристики цепей;

методы анализа переходных процессов в линейных цепях (классический, интегралы наложения).

Курсовая работа закрепляет знания в соответствующей области, а тем у кого никаких знаний нет предлагается их получить практическим методом – решением поставленных задач.

Вариант № 34

R1, Ом	4,5	t1, мкс	30
R2, Ом	1590	I1, А	7
R3, Ом	1100
L, мкГн	43
C, пФ	18,8
Реакция

1. Определить комплексное входное сопротивление цепи.

2. Найти модуль, аргумент, активную и реактивную составляющие комплексного сопротивления цепи.

3. Расчет и построение частотных зависимостей модуля, аргумента, активной и реактивной составляющих комплексного входного сопротивления.

4. Определить комплексный коэффициент передачи цепи, построить графики амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристик.

5. Определить классическим методом переходную характеристику цепи и построить ее график.

6. Найти импульсную характеристику цепи и построить ее график.

1 РАСЧЁТ КОМПЛЕКСНОГО ВХОДНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ЦЕПИ

1.1 Определение комплексного входного сопротивления цепи

(1)

После подстановки числовых значений получим:

(2)

Специалистов, которые проектируют электронную аппаратуру. Курсовая работа по этой дисциплине - один из этапов самостоятельной работы, который позволяет определить и исследовать частотные и временные характеристики избирательных цепей, установить связь между предельными значениями этих характеристик, а также закрепить знания по спектральному и временному методам расчета отклика цепи. 1. Расчёт...

T, мкс m=100 1.982*10-4 19,82 m=100000 1,98*10-4 19,82 Временные характеристики исследуемой цепи изображены на рис.6, рис. 7. Частотные характеристики изображены на рис. 4, рис. 5. ВРЕМЕННОЙ МЕТОД АНАЛИЗА 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИИ ЦЕПИ НА ИМПУЛЬС С помощью интеграла Дюамеля можно определить реакцию цепи на заданное воздействие и в том случае, когда внешнее воздействие на...

ВОЕННАЯ
АКАДЕМИЯ
СВЯЗИ
2 кафедра
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
по учебной дисциплине
«Электроника, электротехника и схемотехника»
Тема № 4 Режим негармонических воздействий в
линейных электрических цепях
Занятие № 17 «Расчет временных характеристик
линейных электрических цепей»
Санкт-Петербург

УЧЕБНЫЕ ВОПРОСЫ:
1. Анализ временных характеристик линейных
электрических цепей.
2. Контроль усвоения изученного материала.
ЛИТЕРАТУРА:
Бабкова Л.А., Киселев О.Н. Методические рекомендации к
практическим занятиям и руководство к лабораторным работам по
дисциплине «Основы теории цепей»: Учеб.пособие.– СПб.: ВАС, 2011.
2. Улахович Д.А. Основы теории линейных электрических цепей:
Учеб.пособие. – СПб.: БХВ-Петербург, 2009.
1.

Задача 1

1. Анализ временных характеристик линейных
электрических цепей.
Задача 1
Найти импульсную и переходную характеристики электрического
фильтра нижних частот с максимально плоской АЧХ, если известна
передаточная функция:
1
H (p) 2
.
p 2 p 1

1
h (p) H (p).
p
h (p)
1
p(p 2 p 1)
2
.

2. Определим изображение импульсной характеристики:
g (p) H (p).
Таким образом изображение импульсной характеристики будет
иметь вид:
g (p)
1
p 2 p 1
2
.
Воспользовавшись таблицей соответствий определяем графическое
изображение переходной и импульсной характеристик:

Переходная характеристика
h (p)
1
p(p 2 2 p 1)
Рис1 . График f(t)
A
p(p 2 α1 p α2)

Импульсная характеристика

g (p)
1
p2 2 p 1
A
p 2 α1 p α2

Задача 2

Найти импульсную и переходную характеристики цепи, если известна
ее передаточная функция:
181,8 p
H (p) 2
p 1091 p 1,818 106
1. Определим изображение переходной характеристики
1
h(p) H (p)
p
2. Определим изображение импульсной характеристики:
g (p) H (p).
181,8 p
g (p) 2
p 1091 p 1,818 106

Переходная характеристика
181,1
h(p) 2
p 1091 p 1,818 106
A
2
p α1 p α2

Импульсная характеристика

181,8 p
g (p) 2
6
p 1091 p 1,818 10
Ap
p 2 α1 p α2

Задача 3 Определить переходные и импульсные характеристики цепи, состоящей из последовательно соединенных элементов R и C.

1. Найдем передаточные функции данной цепи для
представленных реакций:
uc (p)
Н1 (p)
;
u1 (p)
uR (p)
Н 2 (p)
.
u1 (p)

2. Найдем значение реакции на элементах С и R.

1
u1 (p)
1
u1 (p)
uc (p) i (p)
;
pC R 1 pC pRC 1
pC
u1 (p)
u1 (p) pRC
uR (p) i(p) R
R
.
1
pRC
1
R
pC

3.Передаточная функция в операторной форме:

1
H1 (p)
;
pRC 1
pRC
H 2 (p)
.
pRC 1
4. Найдем изображения переходных характеристик:
H1 (p)
1
hC (p)
p
p (pRC 1)
1
RC
1
p p
RC
H 2 (p)
RC
1
h R (p)
.
p
pRC 1 p 1
RC
;

4. Изображение импульсных характеристик находим по соотношению:

g (p) H (p)
1
1
g C (p) H1 (p)
RC ;
pRC 1 p 1
RC
1
pRC
1
g R (p) H 2 (p)
1
1 RC .
1
pRC 1
pRC 1
p
RC

Спасибо за внимание!

Допустим, что к цепи приложено ступенчатое воздействие, изображение которого является функция

Допустим, что к цепи приложено ступенчатое воздействие
изображение которого является функция A
p
х(t) A 1(t)
.
x (t)
0 при t 0;
x(t)
A при t 0.
A
t
0
Рис. 1. Ступенчатое воздействие
Тогда операторная передаточная функция будет иметь вид:
y (p) y (p)
y (p)
H (p)
p
.
A
x (p)
A
p
(10)
,

Осуществляя L-преобразование выражения (7), т.е. найдем L-изображение переходной характеристики. В силу свойства линейности

Осуществляя L-преобразование выражения (7), т.е. найдем Lизображение переходной характеристики. В силу свойства линейности
преобразования Лапласа получаем:
1
h (p) T (p).
p
(11)
Это выражение совпадает со вторым сомножителем правой части (10)
и, следовательно, между операторной передаточной функцией и
изображением переходной характеристики h (p) имеется следующая
взаимосвязь:
H (p) ph (p);
1
h (p) T (p).
p
(12)
(13)
Аналогично установим связь между H (p) и изображением
импульсной характеристики g (p) :
y (t)
g (p)
;
Sи

Если же на цепь подается импульсное воздействие, изображение которого равно, то операторная передаточная функция,

Если же на цепь подается импульсное воздействие х(t) Sи (t) ,
изображение которого х (p) равно
, то операторная передаточная
и
функция, соответствующая этому воздействию, имеет вид:
S
y (p) y (p)
H (p)
.
х (p)
Sи
(14)
Это выражение совпадает с функцией изображения импульсной
характеристики цепи. Следовательно,
g (p) H (p).
(15)

Рассмотрим связь между переходной и импульсной характеристиками
цепи. Не трудно заметить, что их изображения связаны соотношением
g (p) ph (p).
Проведя тождественное преобразование последнего равенства
(прибавив
h(0) h(0)) получим:
g (p) ph (p) h(0) h(0).
ph(p) h(p)
Поскольку
представляет собой изображение
произвольной переходной характеристики, то исходное равенство
можно представить в виде
g (p) h(0) L h / (t) .
Переходя в область оригиналов, получаем формулу, позволяющую
определить импульсную характеристику цепи по известной
ее
переходной характеристике, g (t) h(0) (t) h (t).
g
t
h
(t).
Если h(0) 0 , то
Обратное соотношение между указанными характеристиками имеет
t
вид:
h(t) g (t)dt.
0
(15)

3. Связь между временными и частотными
характеристиками цепи
e t
Для данной цепи определить операторную
передаточную функцию и найти выражения
для ее частотных характеристик
C
C
R
u1 (t) R
u2 (t)
и2 (p)
H (p)
.
e (p)
Рис. 5. Схема RC-цепи
Изображение реакции u2 (p) определим из системы узловых
уравнений, составленных для L-изображений узловых напряжений
u1 (p); u2 (p) :
(2 pC G)u1 (p) pCu2 (p) pCe(p);
pCu1 (p) (pC G)u2 (p) 0.

Отсюда

e (p) p 2
u2 (p)
;
2
G G
2
p 3p 2
C C
2
p
H (p) 2
2
p 3 p
где для упрощения записи введено обозначение
G
.
C
Для нахождения комплексной передаточной функции положим в
последнем выражении p j . Тогда
H (j) 2
.
2
() j3
2

АЧХ определяется модулем полученной функции, а ФЧХ находим
как аргумент
H (j).
H (j)
2
(2 2) 9 2 2
H j
3
() arctg 2
(2)
1
0
а
0
б
Рис. 6. Графики частотных характеристик RC-цепи: а – АЧХ, б – ФЧХ

ВЫВОДЫ:
1. Передаточная функция является L-изображением импульсной характеристики.
2. Передаточная
функция
является
дробно-рациональной
функцией
с
вещественными коэффициентами.
3. Полюсы устойчивой передаточной функции лежат в левой р-полуплоскости.
4. Степени полиномов числителей передаточной функции и квадрата АЧХ не
превышают степеней полиномов знаменателей; при невыполнении этого
свойства АЧХ на бесконечно больших частотах (ω → ∞) должна принимать
бесконечно большое значение, поскольку числитель в этом случае растёт
быстрее знаменателя.
5. Частотные характеристики цепи вычисляются по передаточной функции при
p = jω.
6. Квадрат АЧХ является чётной рациональной функцией переменной с
вещественными коэффициентами: H(jω) 2 = H(–jω) 2 .
7. По передаточной функции можно изобразить схему цепи.

.
Вопрос №1 а. Свободные колебания в
последовательном колебательном контуре.
В момент t=0 произошла коммутация,
т.е. ключ (Кл.) из положения 1 перешел в
положение 2.
Заряженная емкость оказалась
подключенной к RL-цепи.
Рассмотрим процессы происходящие в представленной цепи до коммутации
До коммутации емкость С была подключена
параллельно источнику постоянного напряжения Е,
(ключ (Кл.) находился в положении 1).
Напряжение на емкостях равнялось Е.
uC(+0) = uC(-0) = E;
iL(+0) = iL(-0) = 0.

Рассмотрим процессы происходящие в цепи после коммутации
Учитывая, что напряжение на емкости
скачком измениться не может, в соответствии с законом коммутации имеем:
uC(+0) = uC(-0) = E
Начальные условия НЕНУЛЕВЫЕ
Рассмотрим схему замещения цепи для момента времени
По закону Ома в операторной форме,
определим изображение реакции:
E
p
E
E
L
L
i (p)
2
,
2
1
R
1
p 2 p 0
pL R
p2 p
pC
L
LC
где:
0
R

2L
1
LC
-круговая частота собственных колебаний контура без потерь.

При анализе свободных и переходных колебаний в сложных цепях
изображение реакции y (p) представляет собой дробно-рациональную функцию
переменного p с вещественными коэффициентами, которую можно записать в
виде отношения двух полиномов:
M (p) bm p m bm 1 p m 1 bm 2 p m 2 ... b0
y (p)
N (p)
p n a n 1 p n 1 a n 2 p n 2 ... a 0
По основной теореме алгебры полином степени n может быть разложен на n
простых сомножителей, т.е.:
N(p) = (p-p1) (p-p2),…, (p-pn),
где p1, p2, p3,…,pn – корни полинома N(p) или полюсы функции y (p) .
Полином также можно представить в виде произведения m сомножителей:
M(p) = (p-p01) (p-p02) (p-p03),…,(p-p0m).
где p01, p02, p03,…,p0m - корни полинома М(p) или нули функции y (p) .
В силу вещественности коэффициентов ai и bi нули и полюсы изображения y (p)
могут быть вещественными и (или) комплексно-сопряженными.
Ясно, что дислокация полюсов y (p) определяет характер свободных и
переходных колебаний в анализируемой цепи.

Рассмотрим уравнение:
p 2 2 p 02
Оно имеет два корня, (полюсы изображения):
p1,2 2 02
В силу вещественности коэффициентов данного уравнения (δ, ω), полюсы
могут быть вещественные и комплексно-сопряженные.
Поэтому при анализе свободных колебаний в последовательном контуре
возможны три режима колебаний.

Корни уравнения комплексно-сопряженные:
p1,2 j 1
где:
1 02 2 .
такой характер корней имеет место при 0
или R 2
L
.
C
Оригинал для тока в
этом случае будет:
E t
i(t)
e sin 1t ,
1 L

Амплитуда колебания убывает во времени по экспоненциальному закону,
поэтому процесс называют затухающим. Скорость убывания амплитуды
свободных колебаний определяется значением коэффициента затухания δ.
2
Частоту: 1 02 2 0 1 называют частотой собственных
0
затухающих колебаний контура. Она, как видно из формулы, всегда меньше
частоты собственных незатухающих колебаний контура w0 и зависит не только от
значений индуктивности и емкости контура, но и от значения его резистивного
сопротивления.
Период затухающих колебаний:
T
2
2
0
2
.
Коэффициент затухания связан с добротностью контура соотношением:
где: Q
R 0
.
2 L 2Q
0 L
- добротность последовательного контура.
R
Таким образом, колебания в контуре убывают тем медленнее, чем выше его
добротность.

2. Критический режим гармонических колебаний.

p1 p2 ,
.e. 0 ; R 2
T
L
.
C
Режим колебания в контуре, соответствующий кратным корням
характеристического уравнения (полюсами изображения), может
рассматриваться как предельный случай колебательного режима,
когда частота собственных затухающих колебаний в контуре
нулю, а период колебаний становится
1 02 2 равна
бесконечно большим.

имеет вид:
E0 t
i(t)
te
L

Корни уравнения вещественные кратные:
p1,2 ,
где: 2 02 ; .
Первичные
параметры
контура
должны
удовлетворять неравенству:
L
R 2
.
C
Оригинал i(t), соответствующий данному расположению полюсов изображения,
имеет вид:
E
E
i (t)
L(p1 p2)
e p1t
L(p1 p2)
e p2t

Вопрос №1 б. Переходные колебания в последовательном
колебательном контуре.
Начальные условия НУЛЕВЫЕ
E
E
E
p
L
L
i(p)
2
;
2
1
R
1
p
2
p
0
pL R
p2 p C
pC
L
L
uC (p) i(p)
По таблице соответствий:
uC (t) E Ee (cos 1t sin 1t).
1
t
Напряжение на емкости контура
при t→∞ стремится к установившемуся значению, равному
напряжению источника. Следовательно, емкость при t→∞ заряжается до напряжения Е. Процесс
заряда при комплексно-сопряженных полюсах изображения
имеет колебательный характер.
1
LC
.
2
2
pC p(p 2 p 0)

Значение uC(t) в отдельные моменты времени превышают значения напряжения при большой добротности может почти вдвое превосходить ЭДС источника.
При t→∞ значения тока в контуре, напряжений на резистивном элементе и на
индуктивности контура стремятся к нулю, а напряжение на емкости - к ЭДС
источника. Следовательно, цепь переходит в режим постоянного тока. Процесс
установления колебаний происходит тем медленнее, чем выше добротность
контура. Для оценки времени установления можно воспользоваться полученной
ранее формулой:
ty
3 4, 6
,
что соответствует промежутку времени, по истечении которого амплитуда напряжения uC(t) отклоняется от установившегося значения не более чем на 0,05 или 0,01.
Вопрос №2 Свободные и переходные колебания в
параллельном колебательном контуре.
2.1 Свободные колебания в ПрКК
Начальные условия НЕНУЛЕВЫЕ
iL(+0) = iL(-0) = I0
uC(+0) = uC(-0) = u0

I0
Cu0
p
I0
u0 p
C ,
u (p)
2
2
1
p
2
p
0
pC G
pL
G
- коэффициент затухания контура;
2C
1
0
- частота собственных колебаний контура без потерь.
LC
где:
1. Режим затухающих гармонических колебаний.
Первичные параметре контура в этом случае должны удовлетворять неравенству:
G
2C
1
LC
Закон изменения напряжения на контуре в соответствии с таблицей соответствий определяется выражением:
I0
u
0
t
C
u (t) e u0 cos 1t
sin 1t
1

Анализ полученного решения показывает, что
колебания носят затухающий характер, причем
амплитуда
колебания
убывает
по
экспоненциальному закону. Чем больше
коэффициент затухания, тем быстрее затухают
колебания. Как и в последовательном контуре,
частота свободных колебаний:
1 0 1
0
2
0
2
2
всегда меньше частоты собственных незатухающих колебаний контура
2. Критический режим гармонических колебаний.
Такой характер корней имеет место при δ=ω0, когда между первичными параметрами контура выполняется соотношение:
G
2C
1
LC
I0
t
u (t) u0 u0 t e
C

3. Апериодический режим гармонических колебаний.
Этот случай возможен при условии δ=ω0, что соответствует следующему
соотношению между первичными параметрами контура:
G 2
C
.
L
I0
I0
u 0 p1
u0 p2
u (t) C
e p1t C
e p2t
p 2 p1
p 2 p1
Следует заметить, что при G=0 колебания в контуре носят незатухающий характер,
так как контур не рассеивает энергию.

2.2 Переходные колебания в ПрКК
Используя закон Ома в операторной форме, найдем изображения для всех
реакций:
I
p
I
I
C
u (p)
2 C
;
2
1
G
1
p 2 p 0
pC G
p2 p
LC
C
LC
I
G
C
iG (p) u (p)G 2
;
2
p 2 p 0
I
u (p)
LC
iL (p)
;
2
2
pL
p (p 2 p 0)
iC (p) u (p) pC
Ip
.
2
2
p 2 p 0

Закон изменения напряжения в параллельном
колебательном
контуре
аналогичен
закону
изменения тока в последовательном контуре.
Определим временную зависимость тока iC(t).
iC (t) Ie
p
(cos 1t sin 1t).
1
Так как при t=0 напряжение на емкости было равно нулю, то для этого момента
времени следует считать зажимы емкости замкнутыми накоротко. Следовательно,
в момент t=+0 весь ток I протекал через емкость (iC(+0))=I. При t→∞ цепь
переходят в режим постоянного тока, при котором u(∞)=0, iL(∞)=I, iG(∞)=iC(∞)=0.
Чем ниже добротность (больше затухание) контура, тем быстрее заканчивается
переходный процесс.